一元二次方程求解器

本地处理

输入 a、b、c 三个系数，求解 a·x² + b·x + c = 0。判别式 Δ = b² − 4ac 决定根的情况：大于零有两个不同实根，等于零有两个相同实根，小于零没有实根但有两个共轭复根。

a（二次项系数）

b（一次项系数）

c（常数项）

常见方程与根的关系

判别式	根的情况	抛物线与横轴	因式分解
Δ > 0	两个不相等的实根	相交于两点	a(x − x₁)(x − x₂)
Δ = 0	两个相等的实根	相切于一点	a(x − x₀)²
Δ < 0	一对共轭复根	不相交	在实数范围内不可分解

当 a 等于 0 时方程退化为一次方程，本工具会自动按一次方程求解，并提示退化情况。

工具说明

一元二次方程的标准形式是 a·x² + b·x + c = 0，其中 a 不能为零。本工具用求根公式直接求解，并把判别式、顶点、对称轴、因式分解等常用信息一并算出，便于同时满足解方程与画图两类需求。

求根公式是 x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) ÷ (2a)。根号里的 b² − 4ac 就是判别式，记作 Δ。它决定了根的类型：

当系数都是较小的整数、且判别式是完全平方数时，因式分解往往更快，也不需要记公式。例如 x² − 5x + 6 = 0 可以很快看出两根是 2 和 3。但如果系数是小数、分数或含字母，直接套求根公式更稳妥。

在实数范围内没有解，因为负数在实数范围内没有平方根。但如果把数域扩大到复数，仍然有两个解，它们是一对共轭复数，实部都是 −b ÷ 2a，虚部互为相反数，为 ±√(−Δ) ÷ 2a。本工具会直接给出这对复根。

它给出两根之和与两根之积，与两根具体是多少无关。常见用途有三类：已知一根求另一根、判断两根的正负与大小关系、构造以给定两数为根的方程。例如两根之和为负、之积为正，就能判定两根都是负数，不需要真的解出来。

a 等于零时二次项消失，方程退化为一次方程 b·x + c = 0，此时只有一个根，等于 −c ÷ b。如果 b 也为零，那么当 c 也等于零时任意实数都是解，否则无解。本工具会自动识别并提示退化情况，不会按二次公式硬算。

当题目要求推导顶点式、或者需要证明不等式时，配方法更直观。做法是把 a 提出来，再凑成完全平方的形式。它和求根公式本质等价，最后得到的顶点坐标公式也是从配方法推出来的。