排列组合与概率计算器

工具说明

排列与组合的区别只有一个字：顺序。排列看顺序，组合不看顺序。同一个 r 个元素的集合，如果调换顺序算作不同结果就是排列，算作同一个结果就是组合。因此排列数总是组合数的 r! 倍。

本工具计算什么

• 排列数 P(n,r)：从 n 个不同元素中取 r 个排成一列，有序。公式 n × (n−1) × … × (n−r+1)。
• 组合数 C(n,r)：从 n 个不同元素中取 r 个成一组，无序。公式 P(n,r) ÷ r!。
• 阶乘 n!：n 个元素全排列的数量。
• 可重复排列 n^r：每次取完放回，取 r 次的有序结果数。例如 4 位数字密码是 10^4。
• 圆排列 (n−1)!：n 个元素围成一圈，旋转视为同一种排法。

为什么必须用大整数

阶乘增长极快。20! 已经是 2.43 × 10¹⁸，超出 64 位整数范围；而 JavaScript 的普通数字只能精确表示到 2⁵³ 约 9 × 10¹⁵。用普通数字计算 33 选 6 之类的结果会丢失精度，末尾几位变成 0 或随机数。本工具用大整数逐位运算，结果每一位都准确。

结果怎么读

组合数在杨辉三角里就是第 n 行第 r 个数，本工具直接列出该行便于对照。当组合数不太大时（不超过 300 组）还会把每一组的具体组合列出来，方便核对抽奖、选号这类实际场景。

你可能还想问

排列和组合到底怎么选？

看顺序是否影响结果。排队、密码、名次、赛程安排用排列；选人组队、抽奖号码、选菜、握手次数用组合。一个快速判断法：如果你把结果里任意两个元素互换位置，结果算不算变？算变就是排列，不算变就是组合。

双色球中一等奖的概率是多少？

红球从 33 个里选 6 个（组合，1107568 种），蓝球从 16 个里选 1 个，总组合数是 1107568 × 16 = 17721088 种。中一等奖要求全部匹配，概率是 1 ÷ 17721088，约等于 0.0000056%，也就是约 1772 万分之一。

为什么 33 选 6 的结果这么大？

因为组合数随 n 增长极快。n 从 10 增到 33，组合数从 210 涨到 1107568，放大了五千多倍。用阶乘公式代入即可：33! ÷ (6! × 27!)，其中 33! 是一个 37 位的大数，所以必须用大整数运算才能算准。

计算结果是精确值吗？

是精确值。所有结果都用大整数逐位相乘相除得到，不存在浮点舍入。位数很多的数字在页面上会折叠显示（保留首尾部分），但点复制按钮拿到的是完整数字，可以直接粘到文档或代码里使用。

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