速查在线工具箱一元二次方程的判别式，到底用来看什么？
它算的不是根，而是「根的个数」。判别式的正负零，直接对应图像与横轴交点的三种情况。
直接答案
判别式的作用是「先判断再求根」。把它算出来，就能知道方程有几个实根，避免了算出复数结果才发现题目在实数范围内无解。
三种情况一一对应：大于零有两个不相等的实根；等于零有两个相等的实根；小于零在实数范围内无解。图像上分别对应抛物线与横轴相交两点、相切一点、不相交。
使用前要先化成一般形式，把所有项移到一边、合并同类项，确认二次项系数不为零，再提取三个系数代入计算。
求根公式谁都会背，但真正决定解题效率的是判别式这一步：它决定了后面要不要算、算出来是什么形态。
这一篇讲清判别式的含义、与图像的关系，以及代入前必须做的准备工作。
1判别式与根的关系
这三种情况是解题的岔路口，先判定再往下走。
| 判别式取值 | 实根情况 | 图像与横轴 |
|---|---|---|
| 大于零 | 两个不相等的实数根 | 相交于两点 |
| 等于零 | 两个相等的实数根 | 相切于一点 |
| 小于零 | 在实数范围内无解 | 没有交点 |
判别式为零时的「两个相等的根」不是只有一个根，而是重根，这一点在讨论根的和与积时仍然按两个根处理。
2代入之前必须做的准备
绝大多数计算错误不是出在公式本身，而是出在没先整理方程。
- 先化成一般形式
- 把所有项移到等号一边，另一侧为零，再按次数从高到低排列
- 合并同类项
- 同次项必须合并，散着放会把系数取错
- 确认二次项系数不为零
- 若它为零，方程就不是二次的，求根公式与判别式都不适用
- 注意符号
- 常数项与一次项系数都带符号，代入时漏掉负号是最常见的失分点
整理完先自查一遍：三项是否齐全、次数是否正确、符号是否带对。这三条能拦下大部分低级错误。
3与根的和、积一起用
判别式判断有没有根，另一组关系描述根之间的关系，两者配合能解很多不需要求出具体根的问题。
| 关系 | 表达式 | 用途 |
|---|---|---|
| 两根之和 | 一次项系数取负后除以二次项系数 | 已知和求参数、判断符号 |
| 两根之积 | 常数项除以二次项系数 | 已知积求参数、判断根的符号 |
| 判别式 | 一次项系数平方减四倍二字项与常数项之积 | 判断根的个数与图像交点 |
| 两者组合 | 先由判别式限定范围，再用和积缩小条件 | 解含参数的压轴题 |
求「两根都为正」这类问题时，要同时满足判别式非负、两根和为正、两根积为正三个条件，缺一不可。
顺着这个问题往下用
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判别式小于零就没有解了吗？
在实数范围内无解，但在复数范围内仍有两个根。中学阶段若题目限定在实数范围，直接写无实数根即可。
判别式等于零时算几个根？
算两个相等的实数根，也叫重根。讨论根的和与积时依然按两个根计算，只是数值相同。
为什么一定要先化成一般形式？
因为判别式与求根公式都建立在标准系数之上。不整理直接取值，很容易把常数项当成一次项系数之类的错位取用。
判别式和图像有什么关系？
判别式实质上描述抛物线与横轴的交点个数：两个交点、相切一点、没有交点，分别对应判别式大于零、等于零、小于零。
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