排列组合与计数公式速查

排列和组合到底怎么区分？

唯一判断标准是结果是否在意顺序。同样是 10 个人里选 3 个：如果选出来要当冠亚季军，甲乙丙和乙甲丙是不同结果，这是排列，总数是 10 乘 9 乘 8 等于 720 种；如果只是组一个队，甲乙丙和乙甲丙是同一队，这是组合，总数 120 种。另一个好用的检验是单位：排列的结果像「序列、名单顺序」，组合的结果像「集合、小组」。遇到实际问题先问「交换两个元素算不算新结果」，算就排列，不算就组合，判断对了公式只是代入。

可重复选取的情况怎么算？

分两种。可重复的排列：每次选取都有 n 种选择，选 k 次，总数是 n 的 k 次方，比如 8 位数字密码每一位都可以是 0 到 9，共 10 的 8 次方种。可重复的组合：从 n 类里选 k 个、顺序无关且每类可多选，公式是 C(n+k−1, k)，比如 3 种口味买 5 杯奶茶有 C(7,5) 等于 21 种买法。判断口诀：在意顺序且可放回用 n 的 k 次方；不在意顺序且可放回用 C(n+k−1, k)。这两类在抽样问题和优惠券分配问题里最容易与普通排列组合混用，动手前先确认「放回」和「顺序」两个条件。

双色球一等奖的概率怎么用组合数算？

双色球红色球从 33 个里选 6 个，组合数是 C(33,6) 等于 1107568；蓝色球从 16 个里选 1 个。因此单注中一等奖的概率是 1 除以 1107568 与 16 的乘积，即 1 除以 17721088，约两千万分之一。这个例子演示了复合事件的计数：两个独立环节同时命中，把各自的组合数相乘即可。同样的方法可以算扑克 5 张牌的牌型总数 C(52,5) 等于 2598960，再对特定牌型（比如同花顺只有 40 种）数出有利结果数相除得到概率。需要大数值的精确结果时，用排列组合计算工具直接算，避免手算阶乘溢出。