蒙特卡罗估算圆周率

功能说明

蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）是一种通过随机抽样来近似求解数学问题的经典算法。本工具在屏幕上模拟"向正方形内随机投点"的过程：正方形中内切一个圆，统计落在圆内的点数与总点数的比例，即可估算出圆周率 π ≈ 4 ×（圆内点数 / 总点数）。

它不是用公式算 π，而是用概率"碰"出 π——随着投点数量增加，估算值会像钟摆一样逐渐收敛到真实 π。这种直观的可视化，是学习概率论、大数定律与算法原理的绝佳教具。所有随机生成与绘图均在浏览器本地完成，不上传任何数据。

使用步骤

1. 在"投点总数"中选择或输入要模拟的点数（从 100 到 100 万）。

2. 在"动画速度"中选择观察方式：慢速可逐点看清投点，极速/瞬时则快速得出结果。

3. 点击"开始模拟"，观察画布上红（圆内）/蓝（圆外）点的分布与右侧收敛曲线。

4. 实时查看估算 π 值、相对误差；完成后可"复制结果"或"重置"重来。

常见问题

为什么点数越多，估算越准？

这是大数定律的体现：当随机投点数量足够大时，圆内点数占比会稳定收敛到理论概率 π/4，误差按 1/√N 量级减小。投 100 点可能差 0.1，投 100 万点通常能精确到小数点后两位。

蒙特卡罗和本站"圆周率查询"有什么区别？

"圆周率查询"用 Chudnovsky 公式在本地精确算出 π 的前几万位（确定值）；本工具用随机模拟演示"概率逼近"的思想，结果每次都会略有不同，重在可视化与教学。两者互补，一个给精确数字，一个给直观感受。

画布上的点数和"投点总数"不一致？

为兼顾性能，画布最多渲染约 4 万个抽样点用于直观展示；但统计与估算始终基于你设定的"投点总数"全量计算，所以大样本下画布点数少于总数属正常现象，结果仍准确。

你可能还想问

随机撒点怎么估算圆周率？

在正方形内随机撒点，统计落在内切圆内的比例，乘以 4 即得近似值；点越多结果越接近真实值，这是蒙特卡罗方法的经典演示。

为什么结果每次都不同？

随机采样有波动：样本量小则方差大。可以看到估算值随点数增加逐渐收敛，这正是概率方法的特点。

这种方法有什么实际用途？

思想被广泛应用于金融风险模拟、物理仿真与工程可靠性分析：当解析解难以求得时，用大量随机试验逼近答案。

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